\chapter{动量}

\section{教学要求}

动量是力学中的重要概念，动量守恒定律是自然界最重
要的普遍规律之一．因此在甲种本中单设一章来对有关知识
作较深入的讨论．

这一章的教学要求是：
\begin{enumerate}
\item 理解冲量和动量两个概念，掌握动量定理并会用它解
释一些物理现象．
\item 掌握动量守恒定律并会用它分析、计算有关的问题．
\item 理解弹性碰撞和非弹性碰撞，会计算一维弹性碰撞的
有关问题．
\item 了解反冲运动的原理及其在火箭技术中的应用．
\end{enumerate}

下面对这一章的教学内容作些具体说明．

冲量和动量是两个不容易理解的概念．教材在分析具体
事例的基础上，引用公式进行讨论，得出这两个概念，这样做，
对初学者来说，概念的物理意义可能清楚些，容易理解些．动
量的矢量性在研究动量定理和动量守恒定律时都很重要．但
是学生初学时往往对此认识不够，需要一开始讲解动量时，就
强调它的矢量性．

第二节讲解动量定理．要使学生明确：动量定理$Ft=
mv'-mv$表示的是力在一段时间内连续作用的累积效果与物
体动量变化间的关系；在变力的情况下，公式中的$F$表示变
力在时间$t$内的平均值．

动量守恒定律也可以用牛顿第二定律和第三定律推导出
来．这种讲法的好处是比较简便．然而，动量守恒定律是一
个独立的实验定律，而且它的适用范围比牛顿运动定律更广
泛．因此，教材以实验为基础总结出动量守恒定律，然后说明
这一定律与牛顿运动定律的一致性．

第三节讲述相互作用的物体的动量变化的实验，是为第
四节讲动量守恒定律作准备的．在归纳出动量守恒定律时应
向学生说明，这个定律是在分析研究大量实验事实的基础上
建立起来的，而不是仅靠几个实验得出来的．还应使学生清
楚系统动量守恒的条件，防止解题时不问条件，乱套公式的
倾向．

第五节讲解动量守恒定律和牛顿运动定律的关系．应当
使学生清楚地了解这两个定律在牛顿运动定律运用的范围内
是一致的，这两个定律的区别在于适用范围的不同．牛顿运
动定律只适用于宏观物体的低速运动情况，而动量守恒定律
的适用范围更普遍，不论是宏观物体还是微观粒子，低速运动
还是高速运动，相互作用是什么性质的，都遵守动量守恒
定律．

第六节讲述如何运用动量守恒和动能守恒来研究碰撞问
题．应该使学生明确，对于弹性碰撞需要同时运用动量守恒
和动能守恒来解决．讲解弹性碰撞，要注意培养学生运用两
个守恒定律分析解决问题的能力，进一步认识守恒定律的重
要性，例题中得出的两个钢球发生弹性正碰后的速度表达式，
应要求学生会自行推导，而不是记住它们．同时，要求学生能
够利用表达式讨论一些具体情况．例如，$m_1>m_2$, $m_1=m_2$,
$m_1<m_2$时，两钢球碰撞后的运动情况；$m_1\ll m_2$, $m_1=m_2$, 
$m_1\gg m_2$时，两钢球碰撞中能量的传递情况．并能根据讨论的
结果，解释一些弹性碰撞中发生的现象．

第七节反冲运动中讲述的内容都属于常识性的介绍，目
的是使学生了解物理知识在现代科学技术中的应用，介绍一
些有关的科学技术常识，开阔学生的眼界．

\section{教学建议}
全章教学可分三个单元．第一单元（第一、二节）讲授冲
量和动量的概念以及动量定理．第二单元（第三至五节）讲授
动量守恒定律，这是本章的重点．第三单元（第六、七节）讲
授碰撞和反冲运动，这是动量守恒定律的应用．

\subsection{第一单元}
\subsubsection{冲量和动量概念的引入}

冲量和动量这两个概念也
同功和能一样，不是一引入就能体会它的物理意义的．对这
两个概念的理解，要通过整章的教学过程逐步加深．所以第
一节的教学既要使学生初步了解冲量和动量的意义，特别是
为什么要引入这两个概念以及两个物理量的定义、计算式、单
位和矢量性等，又不能操之过急，要求过高．

课本在引入冲量和动量的概念时，通过日常生活中常见
的事实，以开动汽车为例，说明汽车获得一定的速度不仅同它
的牵引力有关，而且同力的作用时间有关．然后应用牛顿运
动定律和运动学的知识，得出了速度的变化跟力和作用时间
的关系$Ft=mv$. 再通过对这个式子的讨论给出冲量和动量
的定义．这样引入，除了物理意义比较明显、较易理解外，还
可以使学生从一开始就认识这两个概念之间的密切联系，了
解冲量（它表现力的作用）的效果是使物体获得动量．

教学中还应该使学生了解速度和动量的联系和区别．速
度和动量都可以作为运动的量变．但是速度只告诉我们物体
运动的慢快和方向，没有告诉我们使物体运动或者停止运动
需要多大的冲量．动量没有告诉我们物体运动速率的大小，
却能告诉我们使物体运动或停止运动所需的冲量．所以速度
是一个运动学的量，只能用来描述运动，而动量则是一个动力
学的量，它跟冲量即物体运动变化的原因相联系．这里，可以
用课本上以相同的速度运动的铅球和乒乓球的例子来说明．

\subsubsection{动量的变化}

学生初学动量时，往往忽略动量的矢量
性，只注意它的大小，不注意它的方向，以为只要物体的速度
大小不变，动量也就不改变．教学时可利用课本252页的例
题纠正这种错误认识．要想学生考虑钢球从坚硬的障碍物上
弹回，动量的大小并没有变，动量的变化为什么不等于零？原
因是动量是矢量，它的方向改变了，所以动量发生了变化．

教材明确指出，所谓动量的变化就是变化后的动量减去
变化前的动量，因此这里所说的动量的变化实际上就是上一
章所说“增加”或“增量”．具体计算时，由于我们只研究一
直线上的动量变化，所以只要先选定一个方向为正，就可以
把矢量运算简化为代数运算．

\subsubsection{关于打击时的平均作用力}
动量定理可以看作是牛顿第二定律的变形，在这里没有
必要作过多的讲解，可只限于用来解释一些这个定理便于解
释的现象，如为什么茶杯掉在地上要碎，而掉在软的东西上就
不易摔碎等．在计算方面，只限于计算打击、碰撞等问题中的
平均作用力，如课本255页中的例题那样．

课本255页例题后面有一段讨论．讨论中说“如果把铁
锤的重量也考虑在内，那么，这时道钉所受的打击是上面算
出的打击力加上铁锤的重量．”如果学生对此提出怀疑，教学
中可加以说明．应该指出，动量定理$Ft=mv'-mv$中的$F$是
物体所受的合力．所以在这个例题中应该列出如下方程：
\[F=\frac{mv'-mv}{t}=2.5\x10^3{\rm N}\]
而$F=N-G$, 所以
\[N=F+G=2.5\x10^3+49=2549{\rm N}\]

至于什么时候可以忽略铁锤的重量$G$, 这要看$G$与$F$的
差别有多大．象书上例题中$G$为$F$的2\%, 就可以忽略了．

\subsection{第二单元}
本单元是全章的重点．整个单元就是围绕一个中心——
动量守恒定律展开的．

\subsubsection{相互作用物体的动量变化}

第三节教学的关键是要
做好研究相互作用物体的动量变化的演示实验．实验可分为
两部分．第一部分为定性研究，如课本图8.2那样，目的是说
明两个相互作用的物体动量会发生变化，在课堂上可用两个
压紧弹簧的小车代替图8.2中的两个人，也可以用玩具小车
在可动的平板上的运动来演示．

第二部分为定量研究，要求分析课本插页的气垫导轨上
相互作用滑块的闪光照片，得出动量变化总是大小相等方向
相反的结论，教学中要注意引导学生学会如何根据闪光照片
计算滑块速度，并测量动量变化的方法，培养分析原始实验资
料的能力．根据学校的实验设备条件，也可以在课堂上当场
演示，得出同样结论．例如用光电计时器对气垫导轨上滑块
的速度测定来研究共动量的变化；用打点计时器研究相互作
用小车的动量变化；利用平抛原理测定相互作用小球的动量
变化等，有条件的学校还可以让学生自己动手来得出这个结
论．这一节的实验做得越好，对下一节动量守恒定律的学习
就更有利，教学中要十分重视．

\subsubsection{动量守恒的语言表达}

从“相互作用的物体的动量变
化总是大小相等、方向相反”的结论到“系统的动量守恒”的推
理过程，对语言表达的要求较高，教学中教师除应注意自己
授课语言的准确外，还应注意培养学生学习物理的语言表达
能力．推理过程有三个层次：第一是实验结论，“相互作用的
物体的动量变化总是大小相等，方向相反的”；第二是引入系
统总动量的概念，得出“系统的总动量的变化为零”；第三，再
得到系统的总动量守恒，以上三个层次，用公式表达，可与语
言表达对照如下（表中的$p_1$、$p'_1$、$p_2$、$p_2'$都是矢量．如果两个
物体作用前后都在一直线上运动，则上述四个量均代表带正
负号的动量数值．其中最后一式常常写成$m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1
+m_2v_2'$）．

\begin{center}
\begin{tabular}{p{.35\textwidth}c}
    \hline
    用语言表达&用公式表达\\
    \hline
    相互作用物体的动量变化总是大小相等，方向相反的&$p'_1-p_1=-(p'_2-p_2)$\\
    总动量的变化为零&$(p'_1+p'_2)-(p_1+p_2)=0$\\
    系统的总动量守恒&$p'_1+p'_2=p_1+p_2$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{动量守恒定律的条件}
课本明确指出，系统动量守恒
的条件是“系统不受外力或所受外力的合力为零”．教学中要
重视培养学生在应用动量守恒定律时先检验是否符合守恒定
律条件的习惯，防止随意乱套公式，但是有一点应该向学
说明，在有些问题中，系统虽然受到外力作用，而且合力不为
零，但合外力同内力相比非常小，可以忽略不计时，动量守恒
定律仍然可以适用．例如课本260页例题，在列车间相互作
用时，重力和轨道支持力虽然合力为零，但列车和轨道间总有
摩擦力存在．由于这个摩擦力同列车间的内力相比很小，所
以仍可用动量守恒定律．又如手榴弹爆炸时，虽然整个系统
受到重力作用，但比起炸药的爆炸力来重力很小，可以忽略，
因此还是可以用动量守恒定律来计算爆炸后碎块的速度．

\subsubsection{动量守恒定律是普遍适用的物理规律}

动量守恒定
律是自然界最重要的普遍规律之一．教材在第三节末说了
相互作用物体的动量变化总是大小相等方向相反的结论不仅
适用于正碰，而且适用于斜碰．在第四节第一段，教材又说到
这个结论“在任何情况下”都成立，在第四节中，又特别提出三
点说明，对上述“任何情况”作了具体的解释．为了使学生对动
量守恒定律的普遍性有深切的了解，教学中可以多举一些实
例，特别是对说明中第1点可多举例说明，例如，子弹射入木
块、火车车厢连接在一起，课本插页图8.6的碰撞，属于粘合
在一起的例子，炮弹和手榴弹的爆炸属于分裂成碎块的例子．
此外，枪炮发射弹丸，人在船上行走等相互作用的例子，也可
用动量守恒定律来研究．对第2、3点，由于学生知识水平
有限，不可能理解得很具体，只要有一个印象就可以了．

\subsubsection{动量守恒定律中物体的速度}

在两个物体相互作用
对应用动量守恒定律可用表达式
\[m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2\]
式中涉及四个速度，要向学生指出，这四个速度必须是相对于
同一参照系的，一般都以地面为参照系．教师在引导学生解决
如人在船上行走之类的问题时，也要注意不要涉及相对速度，
而应把问题局限在相对于同一参照系研究其动量守恒．

\subsubsection{寻找“守恒量”的一个例子}

教材在第四节后安排了
一段阅读材料，要引导学生认真阅读，使学生了解到十六、七
世纪的哲学家如何从观察宇宙间各种物质的不断运动得出宇
宙运动的总量不会减少的看法，笛卡儿和牛顿又怎样去努力
寻找一个物理量来量度这种永恒的运动．把这一段阅读材料
同上一章第十节所说的寻求“守恒量”的重要意义联系起来
（课本244页），可以使学生体会到守恒定律在物理学里的重
要地位．这一段阅读材料中关于笛卡儿寻找量度运动的合适
物理量时的失误和对他的功绩的评述对学生也是有启发的．

\subsubsection{动量守恒定律和牛顿运动定律的关系}

教材第五节
主要说明两个问题，
\begin{enumerate}
 \item 动量守恒定律和牛顿运动定律是一致
的．但现在已认识到，动量守恒定律具有更大的普遍性；
\item 由于动量守恒定律不涉及相互作用的中间过程，所以在处理
某些问题时会更简便．
\end{enumerate}

教学中为了说明这两点，除了按教材讲述外，还可以选择
一道不要求研究中间过程的例题（例如课本260页的例2, 用
动量守恒定律和牛顿运动定律两种方法来解，说明两者的一
致性，同时又可以比较用动量守恒定律解题得更简便一些．

\subsection{第三单元}
\subsubsection{寻找“守恒量”的又一例子}

教材第六节从两个质量
相等的小球作弹性碰撞的演示开始，讨论只有动量守恒定律
还不能解释为什么现象是唯一的．最后得出在这种碰撞中还
应满足动能守恒．这是寻找“守恒量”的又一个例子．通过学
习，学生可以体会到，在一个物理过程中多一个“守恒量”，就
多一个制约因素，只有存在足够的制约因素，现象才能是唯
一的．在哪些现象中有什么守恒量，这就是自然界的规律，学
习物理学就要掌握这些规律．因此寻找“守恒量”是有重要意
义的．这一段教学内容很有启发性，对培养学生分析问题的
能力很有帮助．教学中首先要做好课本图8.7所示的演示实
验．在分析这一实验时，要使学生弄清初末状态的情况，所谓
碰撞的初末状态，指的是两球接触的短暂时间的前后，两
个状态的小球位置都是在最低点，而不是在弹起的最高点．
虽然初末状态的小球位置一样，但它们的速度不一样．在定
义了弹性碰撞以后，教材接着介绍了非弹性碰撞和完全非弹
性碰撞．教师也可在堂上利用课本图8.7的装置演示一下完
全非弹性碰撞．用课本图8.7演示弹性碰撞和完全非弹性碰
撞只能是定性的．有条件的学校可以用气垫导轨和光电计时
器演示，这样就可以作定量的测量，来验证弹性碰撞中动能守
恒，而非弹性碰撞中动能有损失．

\subsubsection{弹性碰撞末速度公式的推导}

课本第六节例题是根
据动量守恒和动能守恒列出方程组解弹性碰撞问题的一个例
子．例题中推导了碰撞后两钢球的速度，教学中要对推导方
法作一示范，並要求学生能自行推导，而不要简单地记忆末
速度公式．对例题后面的讨论，教学中也要加以重视．在讨
论中，可以将练习四的第4题一起进行讨论．从方程解中讨
论几种情况的物理意义，是一种重要的能力．对于弹性碰撞
的讨论是培养这方面能力的好时机．

对于弹性碰撞问题，课本局限在讨论正碰，并且两球中有
一球原来是静止的．对于学有余力的同学，两球初速均不为
零的弹性正碰可以作为练习题让他们自己推导和讨论，只要
他们掌握了推导方法，这样做是不太困难的．至于斜碰则不
要让学生去做了．

\subsubsection{反冲运动的方程}

反冲运动问题可以用动量守恒定
律来解决，如果反冲运动发生前物体是静止的，则动量守恒定
律可写成$MV+mv=0$的形式，其中$M$、$m$分别为向两个方向
运动的物体的质量，$V$、$v$是相应的速度，其正负号由假设的正
方向决定，可以让同学根据动量守恒定律自己写出这一方程．
但同学在写这一方程时，常常有两个容易出错的地方．第一，
如果$M$表示反冲运动发生前的总质量，则方程应改写为
$(M-m)V+mv=0$. 第二，有的同学根据反冲的两部分动量
大小相等写出$MV=mv$, 算出答案往往也是对的．但此式中
$V$和$v$均为绝对值．这种写法与本章前面的做法不一致，要
特别小心．如果反冲系统原来的动量不为零，则不能用这个
办法了．

\subsubsection{关于火箭的教学}

第七节的主要篇幅是介绍反冲运
动在火箭技术中的应用，主要是为了扩大知识面．教材不要
求作定量计算，所以关于火箭的最终速度与喷气速度、质量比
的关系不必介绍计算公式．至于火箭技术的一些原理、应用
及我国火箭技术发展情况，可鼓励学生自己查阅科普小册子
和杂志中的有关资料．这既可以激发学生的学习兴趣，又可
以培养学生自己查阅资料的能力．

\section{实验指导}
\subsection{演示实验}
\subsubsection{冲量的引入}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/8-1.png}
    \caption{}
\end{figure}

可利用图8.1的装置来演示冲量的作用效果，使小球自
静止开始从斜槽上的某一位置$O$滚下（在$O$处做一记号），斜
槽的底端部分是水平的．观察小球的落地点，在落地点$P$处
可放一塑料小桶，重复实验，使小球恰能落到桶中．使斜槽的
倾角变小，即使小球所受的合力变小，如果仍在$O$点让小球
自静止滚下，则小球将不会落在桶内．若将小球移到$O$点上
方的$O'$点处开始释放，使力的作用时间增长，则小球仍能落
在桶内．这说明了可以用较大的力作用较短的时间，也可以
用较小的力作用较长的时间，使原来静止的物体获得相同的
速度．

实验所用的斜槽，可用两
条平行的粗铁丝焊制而成，或
利用铝材商店出售的用铝合
铁片
金制成的U形铝材来制作
（图8.2）．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/8-2.png}
    \caption{}
\end{figure}

\subsubsection{动量}
如图8.3所示，使一个乒乓球从一光滑斜槽的顶端自静
止滚下，在光滑桌面上运动一段距离后，被一个固定着的装有
橡皮膜（从气球上剪下，装在架子上不要绷紧）的架子$R$阻挡
后，停止了运动，再用一个大小相同的金属球，把它从斜槽的
同一位置上释放，当它到达桌面时具有相同的速度，但被架子
$R$阻挡时，将会观察到橡皮膜被拉得很长后（阻力$F$和力作用
的时间$t$都比较大）才停止运动．这说明乒乓球和金属球虽
然具有相同的速度，但由于金属球的质量大，动量也大，因此
要使它停止下来，需要更大的冲量．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/8-3.png}
    \caption{}
\end{figure}


\subsubsection{动量传递和动量守恒}
用气垫导轨演示课本插页图8.3, 图8.4的实验时，可将
一根轻质弹簧先固定在一个滑块上，然后用棉线扎紧使弹簧
处于压缩状态，再把另一个滑块紧靠着这个滑块装有弹簧的
一侧．在两个滑块都静止的情况下，点燃火柴将棉线烧断，即
可看到两个滑块同时分离向相反方向运动的现象．如果两滑
块的质量相等，则它们分离的速度大小相等，若两个滑块的质
量不相等，则质量小的滑块速度大，质量大的滑块速度小．

演示课本插页图8.5, 图8.6的实验时，可在静止滑块靠
近运动滑块的一端，事先粘上一块较软的橡皮泥（如橡皮泥比
较干、硬，可把它切成小块后加些缝纫机油调软），这样，当运
动滑块跟它碰撞时能较好地粘合在一起．

\subsubsection{弹性碰撞}
课本图8.7的演示实验，
也可以用瓷球代替钢球．为了
保证使两个小球在同一竖直平
面内摆动，可采用双线摆的结
构（图8.4).为了增加可见度，
也可以用注满水的乒乓球来代
替钢球进行演示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/8-4.png}
    \caption{}
\end{figure}


乒乓球中注水的方法是这样的：用注射器针头先在乒乓
球上戳一小孔，再在小孔的近处插入针头，接上针筒注满水，
拔去针头后可在两个针孔间用弯曲的细铜丝穿入细线，再用
橡皮胶布将小孔封住．

\subsubsection{反冲运动}
反冲小车：
如图8.5所示，在小车上用铝皮做一个支架，上面固定一
根试管，试管略倾斜，管内盛一些水，试管口用橡皮塞（质量可
比软木塞大）塞紧，试管底部安装一个盛有酒精棉花的小盘．
点燃酒精棉花，待试管中的水沸腾后，产生大量蒸汽将橡皮塞
冲出的同时，小车就发生后退现象．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/8-5.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/8-6.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

将一长形气球打足气后，用手指捏住打气口，放开后
可观察到气球由于放出气体而发生的反冲现象（图8.6）．

\subsection{学生实验}
\subsubsection{研究弹性碰撞}
这个实验安排两课时完成．第一课时可以结合仪器
的调节与使用来熟悉处理数据的方法，从而进一步理解实验
的设计原理．第二课时进行实际的测量与研究．

这个实验的设计原理比较复杂，应要求学生弄明白
后再行操作．

在调节仪器和实验操作时，要注意以下几点：
\begin{enumerate}
    \item 调节仪器的水平和支放被碰小球的小柱高度和位置．
使两球能在同一高度上发生正碰．
\item 初步调节好支放被碰小球的支柱的高度和位置后，要
进行试测，观察时入射小球的落点位置$P$, 以及发生碰撞时，
入射小球的落点$M$和被碰小球的落点$N$, 看看$P$、$M$、$N$三
个点是否大致在一条直线上，如果偏离很大，则应进一步调节
支放被碰小球的小柱在水平面上的位置，直到碰撞后，$P$、$M$、
$N$三个点看起来基本上在同一直线上，才可以正式做实验．
\item 确定斜槽底部水平部分槽口中心在水平面上的投影，
即入射小球的抛出点在水平面上的投影$O$点时，重垂线的长
度要恰当，应控制在即将接触到纸面的高度上．在这个地方
不要覆盖复写纸，实验时要使斜槽固定使重垂线始终指在
$O$点．
\item 要使学生理解课本图10.19中$O$点的位置，即槽口
重垂线所指的位置，而$O'$点的所在位置，应在原始记录纸上
沿着$OP$直线量度$2r$（$r$是小球半径）的距离来确定，如果入
射小球和被碰小球的半径不相等，则距离$OO'$应等于两个小
球的半径之和，小球半径可以用游标卡尺来测量．
\end{enumerate}

利用等式$m_1(OP)=m_1(OM)+m_2(O'N)$研究动量
守恒时，对于式中相同的量取相同的单位．譬如质量的单位
都用千克（或克），距离单位都用米（或厘米）就可以了，不一定
都要用动量的单位进行计算．因为在这个实验中，是用距离
来表示速度的，实际上是
\[v_1=\frac{OP}{\sqrt{2h/g}},\qquad v'_1=\frac{OM}{\sqrt{2h/g}},\qquad v'_2=\frac{O'N}{\sqrt{2h/g}}\]
式中的$h$为小球下落的高度．只要用
$t=\sqrt{2h/g}$
来除上面的等式，式中的各项仍具有动量的单位．

在利用等式$m_1(OP)^2=m_1(OM)^2+m_2(O'N)^2$研究能量
守恒时，同样是相同的量取相同的单位就可以了．在这里要
使学生了解，通常我们总是用国际单位制，但有时为了研究问
题简便，是可以更为方便的单位的．不要把单位问题搞得
那么死板．

实验后还可以让学生思考以下问题：
\begin{enumerate}
\item 在这个实验中为什么入射小球每次都必须从斜槽的
同一高度滚下？
\item 如果入射小球的质量小于被碰小球，将会发生什么现
象？是否同样可以进行研究？
\end{enumerate}

\subsubsection{用冲击摆测弹丸的速度}

对于这个实验的原理，要使学生理解为什么在弹丸
射入摆锤过程中动量守恒而动能不守恒；在摆锤（连同弹丸一
起）向上摆动的过程中机械能守恒而动量不守恒．这是由于
弹丸进入摆锤的过程中，弹丸受到的冲力和摆锤受到的冲力，
这一对相互作用力是属于系统（弹丸和摆锤所组成）的内力，
而它们的重力由悬线的拉力所平衡，因此在弹丸和摆锤相互
作用时，它们所受到的合外力为零，所以可用动量守恒定律来
计算．在这过程中，弹丸由于克服摩擦阻力做功，一部分动能
将转化为内能，所以不能用动能守恒来计算碰撞后的共同
速度．

当摆锤获得速度和弹丸一起运动后，可以把弹丸和摆锤
看成是一个整体，在它们高度上升的过程中，悬绳拉力不做
功，只有重力做功，所以机械能守恒，因此，它们在获得速度、
开始运动时的动能，在到达最高位置时将完全转化成重力
势能．

在进行实验时，要注意以下几点：
\begin{enumerate}
\item 实验前应先将冲击摆装置调水平，要注意在调节悬挂
摆锤的四根细线时，必须使它们的长度相等，这样才能使摆锤
在上升时保持平动．在调节时并且要使摆锤的上沿与刻度盘
上画出的水平虚线对齐，右侧边与偏转角度的零刻度线对齐，
以保证弹丸能够射入摆锤孔内．
\item 应提请学生注意，利用公式$h=\ell(1-\cos\theta)$计算摆锤
的上升高度时，式中的摆长$\ell$是摆线的长度，即悬点与摆锤上
沿之间的距离，而不是悬点与摆锤中心之间的距离．对于为
什么要这样计算摆长的道理，可让学生自己考虑．
\item 为减少机械能损失，调节好摆锤的起始位置后，可使
用弹簧枪的第一档发射速度先试射一二次，观察指针偏转的
最大角度，实验时，使指针预先停留在较小角度上（譬如最大
偏角为$40^{\circ}$, 可以把指针先放在$35^{\circ}$的位置上），然后再进行
发射，读出指针的最大偏角$\theta$. 在使用弹簧枪另外两档发射
速度时也应先进行试射．
\end{enumerate}

对有兴趣的学生可以启发思考下面两个问题
\begin{enumerate}
\item 使用弹簧枪的不同档来发射弹丸时，为什么弹丸的速
度会不相同？
\item 测出弹丸的速度后，如何来计算由弹丸和摆锤组成的
系统的机械能损失（用百分数表示），用测得的数据具体计算
一下，把所算出的结果跟比值$\dfrac{M}{M+m}$
比较一下，看看它们之间
有什么联系？
\end{enumerate}

\subsection{课外实验活动}
\subsubsection{观察反冲现象}
把包装香烟用的铝箔浸湿后，将它反面的一层薄纸用干
布揩去，剪成宽约5厘米、长约20厘米的一块，卷在圆珠笔的
笔芯上做成一个空心铝管．在
封口处浆糊粘牢，用二根细
线将它水平地悬挂起来，在铝
管两端分别插入两根火柴（有
火药的一端向里），使它们刚刚
接触（图8.7），然后点燃一根火柴，在铝管中部加热，当火柴即将燃尽时，由于铝管温度升高，
管内的火柴已达燃点，燃烧产生的气体推动两根火柴向相反
方向从管子两端飞出，若只有一根火柴飞出（另一根与铝管
烧结在一起），则铝管将向反方向摆动．应当注意，做实验时，
人要站在面对空心铝管侧面的位置．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/8-7.png}
    \caption{}
\end{figure}



\section{习题解答}

\subsection{练习一}
\begin{enumerate}
    \item 用4牛的力推动一个物体，力的作用时间是0.5秒，力的冲量是多少？

    \begin{solution}
        冲量$Ft=4\x0.5=2{\rm N\cdot s}$
    \end{solution}
    \item 使质量为4吨的汽车，从静止达到20$\kmh$的速度，需要多大的冲量？

    \begin{solution}
        汽车动量的变化
\[ p'-p=mv-0=4\x10^3\x\frac{20\x10^3}{3600}
        =2.22\x10^4{\rm kg\cdot m/s}\]       
        所以根据$Ft=mv$, 需要的冲量为$2.22\x10^4{\rm kg\cdot m/s}$．
    \end{solution}
    \item 质量是25千克以0.5$\ms$的速度步行的小孩和质量是0.02千克以800$\ms$的速度飞行的子弹，哪个动量大？

    \begin{solution}
小孩的动量
\[p_1=m_1v_1=25\x0.5=12.5{\rm kg\cdot m/s}\]
子弹的动量
\[p_2=m_2v_2=0.02\x800=16{\rm kg\cdot m/s}\]
所以飞行的子弹动量较大．
    \end{solution}
    \item 质量为8克的玻璃弹球以3$\ms$的速度向左运动，碰到一个物体后弹回，以2$\ms$的速度沿同一直线向右运动，弹球的动量改变了多少？

    \begin{solution}
        若以向右运动的方向为正，则动量的改变：
       \[ p'-p=mv'-mv=8\x10^{-3}\x2-8\x10^{-3}\x(-3)=4\x10^{-2}{\rm kg\cdot m/s}\]
       $ p'-p$的值为正，说明动量的改变方向向右．
    \end{solution}
    \item 以相同的速度分别向竖直和水平方向抛出两个质量相等的物体，抛出时两个物体的动能是否相等？动量是否相等？

    \begin{solution}
        动能相等，动量不等．因为动能是标量，与方向无关，而动量是矢量，方向不同，动量就不等．
    \end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习二}
\begin{enumerate}
    \item 10千克的物体以10$\ms$的速度作直线运动，在受到一个恒力作用4.0秒钟后，速度变为反向2.0$\ms$．求：
     \begin{enumerate}
        \item 物体在受力前和受力后的动量；
        \item 物体受到的冲量；
        \item 力的大小和方向．
    \end{enumerate}

    \begin{solution}
物体原来速度$v_1=10\ms$，则受到力$F$作用后，速
度变为$v_2=-2.0\ms$．
\begin{enumerate}
\item 受力前物体的动量
\[p_1=mv_1=10\x10=100{\rm kg\cdot m/s}\]
受力后的动量
\[p_2=mv_2=10\x(-2.0)=-20{\rm kg\cdot m/s}\]
\item 根据动量定理，物体受到的冲量
\[Ft=p_2-p_1=-20-100=-120{\rm kg\cdot m/s}-120{\rm N\cdot s}\]
负号表示冲量的方向与原来的速度方向相反．
\item $F=\dfrac{Ft}{t}=\dfrac{-120}{4.0}=-30{\rm N}$
负号表示力的方向与原来的速度方向相反．
\end{enumerate}

    
    \end{solution}
    \item 列车的质量是$2.5\times 10^6$千克，受到的牵引力是$4.0\times 
    10^5$牛，它的速度由10$\ms$增加到24$\ms$需要用多少时间？

    \begin{solution}
        根据动量定理$Ft=mv'-mv$,
\[t=\frac{mv'-mv}{F}=\frac{ 2.5\x10^6\x24-2.5\x10^6\x10}{4.0\x 10^5}= 87.5{\rm s}\]      
列车的速度从10$\ms$增加到24$\ms$需要87.5秒．
    \end{solution}
    \item 一个质量是65千克的人从墙上跳下，以7$\ms$的速度着地，与地面接触后0.01秒停了下来，地面对他的作用力是多大？如果他着地时弯曲双腿，用了1秒钟才停下来，地面对他的作用力又是多大？

    \begin{solution}
若取向上为正方向，则应用动量定理，可得出
\[Ft=0-mv\]
式中$v=-7\ms$．如果落地时力的作用时间为$t=0.01$秒，
地面对人的作用力为
\[F=\frac{-mv}{t}=\frac{-65\x (-7)}{0.01}=4.55\x 10^4{\rm N}\]
说明：上述解答忽略了人所受的重力，这是由于人所受的重力
为$mg=65\x9.8=637{\rm N}$，与上面算出的作用力相比，还不
到2\%, 所以是可以忽略的．但在下面的情况下，人所受的重
力不能忽略．

当人着地时双腿弯曲，力的作用时间为$t'=1$秒，此时
必须考虑到是合力的冲量使动量发生变化，所以若以$F'$表示
地面作用力，则
\[(F'-mg)t'=0-mv\]
\[F'=\frac{-mv}{t'}+mg=\frac{-65\x (-7)}{1}+65\x 9.8=1.1\x 10^{3}{\rm N}\]
    \end{solution}
    \item 跳远时，为什么跳在砂坑里比跳在混凝土路面上安全？钉钉子时，为什么要用铁锤而不用橡皮锤？


    \begin{solution}
    跳远时，从着地到停止下来所经过的时间，跳在沙坑
里比跳在混凝土路面上要长，根据动量定理可知，在动量变化
一定的情况下，跳在沙坑里的平均作用力就较小，比较安全．

钉钉子时，铁锤的质量较大，可以有较大的动量．又因铁
锤比较坚硬，与钉子接触的时间短．根据动量定理，
\[Ft=0-mv,\qquad F=\frac{-mv}{t}\]
因为$mv$较大，$t$较小，所以$F$就很大，容易把
钉子钉入木块等物中去．相反，若用橡皮锤，作用力就较小．
    \end{solution}
    \item 质量为4千克的铅球和质量为0.1千克的皮球以相同的速度运动着，要使它们在相同的时间内停下来，作用在铅球上的力和作用在皮球上的力哪个大？为什么？


    \begin{solution}
    铅球与皮球的速度相同，因为铅球的质量大，所以它
的动量大．要使它停下来，动量的变化也大．根据动量定理，冲
量也必须大．又由于作用时间相同，所以对铅球的作用力应该
比对皮球的作用力大．
    \end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习三}
\begin{enumerate}
    \item 两个原来静止的在水平面上挨在一起的小车，质量分别是0.5千克和0.2千克，在弹力作用下分开，较重的小车以0.8$\ms$的速度向右运动，求较轻的小车的速度．

    \begin{solution}
因为系统的合外力为零，所以动量守恒．
\[m_1v_1+m_2v_2=0\]
如果以向右的方向为正方向．则根据题意，$m_1=0.5$千克，
$m_2=0.2$千克，$v_1=0.8$米/秒．代入方程，可解得，
\[v_2=\frac{-m_1v_1}{m_2}=\frac{-0.5\x 0.8}{0.2}=-2\ms\]
负号表示较轻的小车的速度与假设的正方向相反，即向左．
    \end{solution}
    \item 在气垫导轨上，一个质量为600克的滑块以15${\rm cm}/{\rm s}$的速度赶上另一个质量为400克速度为10${\rm cm}/{\rm s}$的滑块而发生碰撞，碰撞后两个滑块并在一起，求两个滑块碰撞后的速度．

    \begin{solution}
根据题意，滑块质量分别为$m_1=600{\rm g}=0.6{\rm kg}$，
$m_2=400{\rm g}=0.4{\rm kg}$，$v_1=15{\rm cm/s}=0.15\ms$，$v_2=10{\rm cm/s}=0.10\ms$．设碰撞后的共同速度为$v$. 则根据动量
守恒定律，
\[m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v\]
\[v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{0.6\x 0.15+0.4\x 0.10}{0.6+0.4}=0.13\ms\]
方向跟原来的方向一致．
    \end{solution}
    \item 一个小孩从静止的小船上水平抛出一个球，球的质量是2.0千克，抛出的速度是20$\ms$．如果小孩和船的总质量为100千克，球抛出时船得到的速度是多大？

    \begin{solution}
    设小孩和船的总质量为$M$, 小球的质量为$m$, 小球
抛出的速度$v$即小球抛出时相对于地面的速度．则小孩和船
的速度$V$可由动量守恒定律求出．设$v$的方向为正．
\[mv+MV=0\]
\[V=-\frac{mv}{M}=\frac{-2.0\x 20}{100}=-0.40\ms\]
负号表示$V$的方向与小球抛出方向相反．
    \end{solution}
    \item 质量为10克速度为300$\ms$的子弹，打进质量为
    24克静止在光滑水平面上的木块中，并留在木块里，子弹进入木块后，木块运动的速度多大？如果子弹把水块打穿，穿过木块后子弹的速度为100$\ms$，这时木块的速度多大？

    \begin{solution}
    设子弹质量为$m$, 速度为$v_1$, 木块质量为$M$. 当子
弹打入木块并留在木块内时，子弹和木块有共同速度$V$，则根
据动量守恒定律，有
\[mv=(m+M)V\]
\[V=\frac{mv}{m+M}=\frac{0.01\x 300}{0.01+0.024}=88.2\ms\]
如果子弹穿过木块后有速度$v'=100\ms$，则木块速度
$V'$可由下式求得
\[mv= mv'+ MV'\]
\[V'=\frac{mv-mv'}{M}=\frac{0.01\x300-0.01\x100}{0.024}=83.3\ms\]
    \end{solution}
    \item 光滑的水平面上停着一辆平车，有两个人在车上相向而行，在什么情况下平车保持静止？在什么情况下平车要运动，运动的方向由什么决定？

    \begin{solution}
        两人动量的大小相等时，平车不动；两人动量的大小
        不等时，平车就要运动．平车运动的方向跟动量小的人的运动
        方向相同．这是因为，两人动量与平车的动量之和应该守恒，
        即为零，因此，平车的动量应与两个人的合动量的大小相等方
        向相反，而两人合动量的方向决定于哪个人的动量大，所以平
        车的动量方向应与动量小的人的动量方向相同．
    \end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习四}
\begin{enumerate}
\item 两个质量都是3千克的球，各以6$\ms$的速率相向运动，发生正碰后每个球都以原来的速率向相反方向运动．它们的碰撞是弹性碰撞吗？为什么？


\begin{solution}
    是弹性碰撞．两个小球虽然碰撞前后运动方向都发
    生变化，但速度大小不变，所以动能不变，由于动能守恒，所以
    是弹性碰撞．
\end{solution}
\item 一个1.5千克的物体原来静止，另一个0.5千克的以0.2$\ms$的速度运动的物体与它发生弹性正碰，求碰撞后两个物体的速度．

\begin{solution}
根据题意，$m_1=0.5$千克，$v_1=0.2$米/秒，$m_2=1.5$千
克，$v_2=0$. 因为两球发生弹性碰撞，因此满足动量守恒和动能
守恒：
\[\begin{cases}
    m_1v_1=m_1v_1'+m_2v_2'\\
    \frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2\\
\end{cases}\]
解得，
\[\begin{split}
v'_1&=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1=\frac{0.5-1.5}{0.5+1.5}\x 0.2=-0.1\ms\\
v'_2&=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1=\frac{2\x 0.5}{0.5+1.5}\x 0.2=0.1\ms\\
\end{split}\]
$v'_1$为负值，说明质量较小的物体碰撞后速度的方向与原来
相反．
\end{solution}
\item 甲乙两物体在同一直线上同向运动，甲物体在前，乙物体在后，甲物体质量为2千克，速度是1$\ms$；乙物体质量为4千克，速度是3$\ms$．乙物体追上甲物体发生正碰后，两物体仍沿着原来的方向运动，而甲物体的速度变为3$\ms$，乙物体的速度变为2$\ms$，这两个物体的碰撞是弹性碰撞吗？为什么？

\begin{solution}
    设甲物体的质量为$m_1$, 它在碰撞前后的速度为$v_1$、$v_1'$
    乙物体的质量为$m_2$, 它在碰撞前后的速度为$v_2$、$v'_2$. 要
    判断是否弹性碰撞，可检验其碰撞前后的总动能是否守恒．
    
    碰撞前的总动能：
\[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}\x 2\x 1^2+\frac{1}{2}\x 4\x 3^2=19{\rm J}\]
碰撞后的总动能：
\[\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2=\frac{1}{2}\x 2\x 3^2+\frac{1}{2}\x 4\x 2^2=17{\rm J}\]
可见，总动能不守恒，不是弹性碰撞．
\end{solution}
\item 在课文第六节的(8.6)式中，如果$m_2\gg m_1$，就得到$v'_1\approx -v_1,\; v'_2\approx 0$．这组解的物理意义是什么？


\begin{solution}
    在弹性碰撞方程组中解得的末速度公式［(8.6)式］是：
    \[\begin{cases}
        v'_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\\
        v'_2=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1\\
        \end{cases}\]
当$m_2\gg m_1$时，可得$v'_1\approx -v_1$, $v'_2\approx 0$. 这说明：当质量很小的物
体去与质量很大的静止物体发生正碰时，小物体将原速弹回，而大物体几乎不动．
\end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{习题}
\begin{enumerate}
    \item 质量为1千克的手榴弹以60$^\circ$角斜抛出去，抛出的速度为10$\ms$，手榴弹到达最高点时炸成两块，一块的质量是0.6千克，以15$\ms$的速度沿原方向运动，求另一块的速度大小和方向．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.4]{fig/8-8.png}
    \caption{}
\end{figure}

    \begin{solution}
手榴弹以60$^\circ$角斜抛出去，达最高点时的速度
\[v=v_0\cos\theta=10\x\cos60^{\circ}=5\ms\]
（图8.8）．此时手榴弹炸
成两块，爆炸前后的动量应该守恒．（它们所受的重力与爆炸
力相比可忽略不计）．设爆炸后沿原方向运动的一块质量为
$m_1$, 速度为$v_1$, 另一块的质量为$m_2$, 速度为$v_2$. 以原运动方向
为正方向，则
\[mv=m_1v_1+m_2v_2\]
\[v_2=\frac{mv-m_1v_1}{m_2}=\frac{1\x 5-0.6\x 15}{0.4}=-10\ms\]
负号表示方向与手榴弹在最高点的速度方向相反．
    \end{solution}
    \item 对于在一直线上运动的两个物体组成的系统，动量守恒定律的一般表达式为：
\[m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2 \]
    在不同情况下，这个表达式往往可以简化为不同形式，试写出下列各种情况下得出的简化的表达式：
\begin{enumerate}
    \item 两个物体原来静止，发生相互作用后分开；
    \item 一个物体原来静止，另一个物体跟它碰撞后粘合在一起并共同沿原来的方向运动；
    \item 一个物体原来静止，另一个运动物体与它正碰后，两物体以不同的速度在原来的直线上运动；
    \item 两个相向运动的物体，相碰后都静止下来．
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $0=m_1v_1'+m_2v_2'$
\item 设$m_2$原来静止，则
\[m_1v_1=(m_1+m_2)v\]
式中$v$为粘合后的共同速度．
\item $m_1v_1=m_1v_1'+m_2v'_2$
\item $m_1v_1+m_2v_2=0$
以上几式中的$v_1,v_2,v_1',v_2',v'$等速度的正负要根据与假定正
方向的一致或相反来确定．

\end{enumerate}
\end{solution}
\item 试证明：两个物体碰撞后，它们的速度变化$\Delta v_1=v'_1-v_1$和$\Delta v_2=v'_2-v_2$跟它们的质量成反比，即
\[\frac{\Delta v_1}{\Delta v_2}=-\frac{m_2}{m_1}\]
并利用所得结果来讨论：很轻的物体（如乒兵球）跟一个很重的物体（如课桌）碰撞后，它们的速度变化有什么特征．

\begin{proof}
    两物体碰撞，动量守恒．据两个物体组成系统
    的动量守恒定律一般表达式
    \[m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2\]
    移项得
   \[\begin{split}
       m_1(v'_1-v_1)&=-m_2(v'_2-v_2)\\
       \frac{v'_1-v_1}{v'_2-v_2}&=-\frac{m_2}{m_1}
   \end{split} \]
    即
\[\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1}=-\frac{m_2}{m_1}\]
\end{proof}
\item 质子的质量是$1.67\times 10^{-27}$千克，速度为$1.0\times 10^7\ms$，与一个静止的氦核碰撞后，质子以$6.0\times 10^6\ms$的速度反弹回来，氦核以$4.0\times 10^6\ms$的速度向前运动．
   \begin{enumerate}
       \item 你能否求出氦核的质量？如果能，是多少？
       \item 你能否求出碰撞时的相互作用力？为什么？
   \end{enumerate}

   \begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 能．可以用动量守恒定律求出．设质子质量为
    $m_1=1.67\x10^{-27}$千克，速度$v_1=1.0\x10^7$米/秒．碰撞后质
    子反弹，速度为$v'_1=-6.0\x10^6$米/秒．氦核的质量为$m_2$, 碰
    撞后速度$v'_2=4.0\x10^6$米/秒．则
\[m_1v_1=m_1v_1'+m_2v_2'\]
\[\begin{split}
    m_2&=\frac{m_1v_1-m_1v_1'}{v_2'}\\
    &=\frac{ 1.67\x10^{-27}\x1.0\x10^7-1.67\x10^{-27} \x(-6.0\x10^6)}{4.0\x10^6}\\
    &=6.68\x10^{-27}{\rm kg}
\end{split}
\]
    \item 不能．因为根据质子的动量变化可以求得质子受到
    的冲量，但由于作用时间未知，所以无法求得作用力．
\end{enumerate}
   \end{solution}
   \item 两个球以相同的速度相向运动，其中一个球的质量是另一个的三倍，相碰后重球停止不动，轻球以二倍的速率弹回，试证明它们发生的是弹性碰撞．

\begin{solution}
    设轻球质量为$m$, 则重球质量为$3m$. 碰撞前速率
    都是$v$, 碰撞后轻球速率是$2v$, 重球静止，则碰撞前总动能为
   \[\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\x 3mv^2=2mv^2\]
    碰撞后总动能为
\[\frac{1}{2}m(2v)^2=2mv^2\]
    可见，碰撞前后动能守恒，为弹性碰撞．
\end{solution}
   \item 在光滑水平面上一个质量为0.2千克的小球以5$\ms$的速度向前运动，途中与另一个质量为0.3千克静止的小球发生正碰．假设碰撞后第二个小球的速度为4.2$\ms$，你算出的第一个小球的速度是多大？想一想，这种情况真的可能发生吗？这道题的毛病出在哪里？

   \begin{solution}
    如果这种情况真的发生，则碰撞前后一定满足动量
    守恒．因此可用动量守恒定律求得第一个小球碰撞后的速度
    $v'_1$. 设第一个小球的质量为$m_1$, 碰撞前速度为$v_1$, 第二个小球
    的质量为$m_2$, 碰撞后的速度为$v'_2$. 则
\[m_1v_1=m_1v_1'+m_2v_2'\]
\[v'_1=\frac{m_1v_1-m_2v_2'}{m_1}=\frac{0.2\x 5-0.3\x 4.2}{0.2}=-1.3\ms\]
但实际上这种情况是不可能发生的．因为碰撞前的总
动能
\[E=\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}\x 0.2\x 5^2=2.5{\rm J}\]
而碰撞后的总动能为
\[\begin{split}
    E'&=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2\\
    &=\frac{1}{2}\x 0.2\x (-1.3)^2+\frac{1}{2}\x 0.3\x 4.2^2\\
    &=2.8{\rm J}
\end{split}\]
碰撞后的总动能大于碰撞前的总动能是不可能的．这道题的毛病在所给的数据不符合实际情况．
   \end{solution}
   \item 一个质量$M=0.2$千克的小球放在高度$h=5$米的直杆顶端（图8.11），一颗质量$m=0.01$千克的子弹以$v_0=500\ms$的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的距离$s=20$米．求子弹落地处离杆的距离．子弹的动能有多少转化成了热能？
   \begin{figure}[htp]\centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
    \draw (-1,0)-- (6,0);
    \draw (-0.1,0) rectangle (.1, 5);
    \node at (0, 5.6){$M$};
    \draw [<->](-.75,5.2)--node[fill=white]{$h$}(-.75,0);
    
    \draw[fill=gray] (-2, 5.3) --(-1.7, 5.3) to [bend left=15] (-1.45, 5.2) to [bend left=15] (-1.7,5.1)--(-2,5.1)--(-2,5.3); 
    \node at (-1.7, 5.5){$m$};
    \draw[->](-1.1, 5.2)--node[above]{$v_0$}(-.3, 5.2);
    \draw [|<->|](0,-.3)--node[fill=white]{$s$}(2,-.3);
    \draw [|<->|](0,-.8)--node[fill=white]{$s'$}(5.2,-.8);
    \draw (0,0)--(0,-1);
    \draw (2,0)--(2,-.5);
    \draw (5.2,0)--(5.2,-1);
    
    \draw [dashed] (5.2,0) arc (0:87:5.2);
    
    \draw [dashed] plot[domain=0:2, samples=100] function{-1.3*x*x+5.2} ;
    \draw [fill=gray] (0,5.2) circle (.2);
    \draw [dashed, fill=white] (2,.2) circle (.2);
    \draw [dashed, fill=white] (4.9+.2,.55)--(5.1+.2,.55)--(5.1+.2,.25) to [bend left=15](5+.2,0) to [bend left=15](4.9+.2,.25)--(4.9+.2,.55);
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{figure}

    \begin{solution}    
    根据小球落地点离杆
的距离$s$, 利用平抛运动规律，
可求出小球在碰撞后的速度$V$.
\[V=\frac{s}{t}=\frac{s}{\sqrt{2h/g}}=\frac{20}{\sqrt{\dfrac{2\x 5}{9.8}}}=20\x\sqrt{0.98}=19.8\ms\]
再根据动量守恒定律求得子弹在穿过小球后的速度$v'$.
\[mv_0=mv'+MV\]
\[v'=\frac{mv_0-MV}{m}=\frac{0.01\x500-0.2\x19.8}{0.01}=104\ms\]
再根据平抛运动规律求出子弹落地点离杆的距离$s'$, 
\[s'=v't=v'\x\sqrt{\frac{2h}{g}}=104\x \sqrt{\frac{2\x 5}{9.8}}=105{\rm m}\]
设转化为热能的能量为$E$, 则根据能量守恒：
    \[\begin{split}
E&=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{v'}^2-\frac{1}{2}MV^2\\
&=\frac{1}{2}\x 0.01\x 500^2-\frac{1}{2}\x 0.01\x 104^2-\frac{1}{2}\x 0.2\x 19.8^2\\
&=1.16\x 10^3{\rm J}        
    \end{split}
        \]


    \end{solution}

   \item 略（课本已作解答）．

\item 在上题中，如果宇航员想以最短的时间返回飞船，他开始最多能释放出多少氧气？这时他返回飞船所用的时间是多少？

\begin{solution}
要使返回时间最短，就要使开始释放的氧气最多．这
样反冲速度大，返回时间短，但释放氧气后的剩余氧气又必
须足够字航员在途中呼吸所用．其极端的情况就是所剩的氧
气正好够宇航员途中呼吸，即$m+m_{\text{吸}}=m_{\text{总}}$, 式中$m$就是开始
喷出的氧气质量．根据上题分析，宇航员的反冲速度为$V$,
而$V=-mv/M$．
返回时间
\[t=\frac{d}{V}=-\frac{Md}{mv}\]
在这段时间内宇航员吸氧气
\[m_{\text{吸}}=m_{\text{总}}-m=Rt\]
所以，
\[m_{\text{总}}-m=Rt=-R\frac{Md}{mv}\]
整理得
\[m^2-m_{\text{总}}m-\frac{RMd}{v}=0\]
所以，
\[m=\frac{1}{2}\left(m_{\text{总}}+\sqrt{m^2_{\text{总}}+\frac{4RMd}{v}}\right)\]
（因$m$应取较大值，所以舍去根号前的负号解）．代入数据$m_{\text{总}}=0.5{\rm kg}$
\[\frac{RMd}{v}=\frac{2.5\x 10^{-4}\x 100\x 45}{-50}=-0.0225{\rm kg^2}\]
解得：$m=0.45{\rm kg}$

根据题意，要使宇航员返回时间最短，开始时应释放氧气0.45
千克．宇航员返回时间为
\[t=\frac{d}{V}=-\frac{Md}{mv}=-\frac{100\x 45}{0.45\x (-50)}=200{\rm s}\]

说明：上述返回时间的答案可以验证．看看在这段时间
里宇航员呼吸氧气有没有问题．如果从吸完氧气所需的时间
来计算，则
\[t=\frac{m_{\text{总}}-m}{R}=\frac{0.5-0.45}{2.5\x 10^{-4}}=200{\rm s}\]
与上述答案是一致的．
\end{solution}
\item 速度为$10^5{\rm cm}/{\rm s}$的氦核与静止的质子发生正碰，氦核的质量是质子的4倍，碰撞是弹性的，求碰撞后两个粒子的速度．

\begin{solution}
设氦核质量为$m_1$, 速度为$v_1$, 质子质量为$m_2$. 已知
$m_1=4m_2$. 根据弹性碰撞的动量守恒和动能守恒，列出方程：
\[\begin{cases}
  m_1v_1=m_1v_1’+m_2v_2'\\
\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1{v_1'}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2 
\end{cases}\]
解得碰撞后氦核速度
\[v'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1=\frac{3m_2}{5m_2}v_1=\frac{3}{5}v_1=\frac{3}{5}\x 10^5=6\x10^4{\rm cm/s}\]
质子速度 
\[v'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1=\frac{8m_2}{5m_2}v_1=\frac{8}{5}v_1=\frac{8}{5}\x 10^5=1.6\x 10^5{\rm cm/s}\]
$v_1'$、$v_2'$都与$v_1$的方向相同．
\end{solution}
\item 一个质量是$m_1$，动能是$E_K$的物体与一个质量是$m_2$的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，在$m_1=0.01m_2$，$m_1=m_2$，$m_1=100m_2$的情况下，$m_1$传递给$m_2$的动能各是多少？

（有兴趣的同学还可以进一步讨论$m_1$传递给$m_2$的动能最大或最小的条件）．

\begin{solution}
    设$m_1$的原速度为$v_1$, 碰撞后两物体的速度分别为
    $v_1'$、$v_2'$．则根据弹性正碰的特点列出方程：
\[\begin{cases}
  m_1v_1=m_1v_1’+m_2v_2'\\
\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1{v_1'}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2 
\end{cases}\]
解得：
\[v'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1,\qquad v'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1\]
$m_1$传递给$m_2$的动能
\[\begin{split}
    E'_{k_2}-0=E'_{k_2}&=\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2=\frac{1}{2}m_2\left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2 v_1^2\\
    &=\frac{1}{2}m_1v_1^2\cdot \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\\
    &=\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}E_k
\end{split}\]

\begin{itemize}
\item 当$m_1=0.01m_2$时，
\[E'_{k_2}=\frac{4\x 0.01m_2^2}{1.01^2m_2^2}E_k=0.039E_k\]
说明传递给$m_2$的动能只占$m_1$原动能的3.9\%.
\item 当$m_1=m_2$时，$E'_{k_2}=E_k$. 说明$m_1$的动能全部传递给$m_2$.
\item 
当$m_1=100m_2$时，
$$E'_{k_2}=\frac{400m^2_2}{101^2\cdot m^2_2}E_k=0.039E_k$$
说明传递给$m_2$的动能也只占$m_1$原动能的3.9\%.
\end{itemize}

$m_1$传递给$m_2$的动能为最大的情况，就是将自己的动能
全部传给$m_2$的情况，即上面所说的$m_1=m_2$的情况．

从式子$E'_{k_2}=\dfrac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}E_k$ 可见，
\[E'_{k_2}=\frac{4m_1m_2}{m_1^2+2m_1m_2+m_2^2}E_k=\frac{4}{\dfrac{m_1}{m_2}+2+\dfrac{m_2}{m_1}}E_k\]

\begin{itemize}
    \item 当$m_1\gg m_2$时，$\dfrac{m_2}{m_1}\to 0$, 而$\dfrac{m_1}{m_2}\to \infty$, 所以$E'_{k_2}\to 0$. 
    \item 当
$m_1\ll m_2$时，$\dfrac{m_1}{m_2}\to 0$, 而$\dfrac{m_2}{m_1}\to \infty$, 所以$E'_{k_2}\to 0$
\end{itemize}

所以，当$m_1\gg m_2$或$m_1\ll m_2$时，$m_1$传递给$m_2$的动能最小（等于零）．
\end{solution}
\item 在有些原子反应堆里，要让中子与原子核碰撞，以便把中子的速率迅速降低下来．为此，是选用较重的还是较轻的原子核效果较好？为什么？


\begin{solution}
    要使中子速率迅速降低下来，就要使中子与原子核
    碰撞的过程中将动能传递给原子核．根据上题的讨论，被撞
    原子核的质量越接近中子质量，传递动能越多，中子的速率就
    降低得越快．所以选用较轻的原子核效果较好．
\end{solution}
\end{enumerate}


\section{参考资料}
\subsection{机械运动中动量及动能的区别}

课本里的阅读材料：《笛卡儿和动量守恒定律》中已经提
到动量这个概念是笛卡尔、牛顿先后提出的，并且笛卡儿明确
地把物体的质量和速度的乘积作为物体“运动量”的量度．在
历史上由于他们的影响，在十七世纪四十年代至八十年代，科
学界普遍承认$mv$是机械运动唯一的量度．

在这同一时期内，由于惠更斯对完全弹性碰撞的研究，得
出了“各个质量和各个速度的平方乘积之和，在碰撞前后不
变”的结论．

1686年德国数学家莱布尼兹通过对落体运动的分析，认
为物体的质量和速度平方的乘积——活力——才是机械运动
的真正量度，从而与笛卡尔的主张展开了争论．

关于两种运动量度的争论，持续了近二百年，许多著名的
数理学家参加到争论中．后来随着力学本身的发展，人们对
这两种量度取得了清楚的认识．

牛顿第二定律
\[\frac{\dd(mv)}{\dd t}=F\]
所表现的只是运动的原因（力）
和结果（动量变化）之间的瞬时关系．如果考察力在一段时间
内的累积效应，可由上式得出：
\[\dd(mv)=F\cdot \dd t\]
\[\therefore\quad mv_2-mv_1=\int^{t_2}_{t_1}F\cdot \dd t\]
这就是动量定理：在一段时间内物体动量的变化，等于物体在
同一时间内所受外力的冲量，如果要根据物体在力的作用下
所通过的距离来考察力的作用效果，即力的空间积累效应，则
可得出：
\[\begin{split}
    F\cdot \dd s&=\frac{\dd(mv)}{\dd t}\cdot \dd s\\
    \int^{t_2}_{t_1}F\cdot \dd s&=\int^{t_2}_{t_1}v\cdot \dd (mv)
\end{split}\]
\[\therefore\quad \frac{1}{2}mv^2_2-\frac{1}{2}mv^2_1=\int^{t_2}_{t_1}F\cdot \dd s\]
这就是动能定理：物体动能的增加，等于外力对物体所做
的功．

所以，在力学中动量的变化表现着力的时间累积效应，动
量的变化与外力的冲量相等；动能的变化表现着力的空间累
积效应，动能的变化与外力的功相等．动量是与冲量密切联
系着的，动量决定物体反抗阻力能够移动多么久；动能是与
功密切联系着的，动能决定物体反抗阻力能够移动多么远．


\subsection{动量守恒定律的适用范围比牛顿运动定律广}
动量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围要广．近代的
科学实验和理论分析都表明：在自然界中，大到天体的相互作
用，小到质子、中子等基本粒子间的相互作用都遵守动量守恒
定律．

在天文学中发现过这样一种现象：在太空的某个地方有
时会突然发出非常明亮的光，这就是超新星，可是它很快就
暗淡下来，经过几十个昼夜亮度就会减弱一半，光要从这样
一颗超新星出发到达地球需要几百万年，而相比之下超新星
从发光到熄灭的时间就显得太短了，在光到达我们这里以前，
超新星早已烧光了．

当光从超新星到达地球时，它给地球一个轻微的推动，而
与此同时地球却无法给超新星一个轻微的推动，因为它已消
失了，因此，如果我们想象一下超新星与地球之间的相互作
用力，在同一瞬间也就不是什么大小相等，方向相反了．此时，
牛顿第三定律显然已不适用了．

虽然如此，动量守恒定律还是正确的．不过，我们必须把
光也考虑在内．当超新星发射光时，星体反冲，得到动量，同
时光也带走了大小相等、方向相反的动量．经过几百万年光
到达地球时，光把它的动量给了地球．这里要注意的是：动量
不仅可以为实物所携带，而且可以以辐射的方式传递动量，当
我们考虑到这点时，动量守恒定律还是正确的．

\subsection{相对论的动量}

在牛顿力学里，动量定义为$mv$, 质量$m$是个不变的量．根
据牛顿第二定律，一个恒定的力，持续作用于一个物体，可以
使该物体有任意大的高速度．但是在现实中，真空中的光速是
极限速度，并且在任何条件下物体的速度都不可能超过真空
中的光速．因此，在高速运动时，认为质量，以及动量，是与速
度无关的，是不正确的．

相对论告诉我们，在高速运动时质量不再是一个不变的
量，而是随着运动的速度接近光的速度$c$而增大，如果用$m_0$
表示静止物体的质量，则以速度$v$运动的物体的质量$m$可以
用下式表示：
\[m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]
相对论的动量仍定义为，
\[p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]
在采用这样定义的情况下，牛顿本人所用的第二定律的表
达式
\[\frac{\dd p}{\dd t}=F,\qquad F=\frac{\dd}{\dd t}\cdot\frac{m_0v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]
在接近光速的情况下也同样适用了，因为随着运动速度的增
大，决定物体惯性大小的质量也增大．当$v\to c$时，$m\to \infty$, 所以加速度趋于零，不论力作用多长时间，速度也不会超过
光速．

对于静止质量$m_0=0$, 而速度为$c$的光子来说，它的动量$p=E/c$
可以这样推得：

因为$E=mc^2$，所以
\[\begin{split}
    E^2=m^2c^4&=m^2c^4-m^2v^2c^2+m^2v^2c^2\\
    &=m^2c^4\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+p^2c^2=m^2_0c^4+p^2c^2
\end{split}\]
在$v\to c$, $m_0\to 0$时，$E^2=p^2c^2$, 所以
\[p=\frac{E}{c}\]


